4.已知AC、CE為正六邊形ABCDEF的兩條對角線,點M,N分別在線段AC、CE上,且使得$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CN}=r\overrightarrow{CE}$,如果B,M,N三點共線,則r的值為( 。
A.$\sqrt{3}$B.3C.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{1}{3}$

分析 根據(jù)正六邊形的特點建立坐標系,不妨設邊AB=1,求出A、B、C、E的坐標,設M的坐標,由條件和向量相等列出方程,求出M的坐標,同理求出點N的坐標,求向量的坐標運算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐標,將B,M,N三點共線轉化為$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,由共線向量的坐標條件列出方程,求出r的值.

解答 解:建立如圖坐標系,不妨設正六邊形ABCDEF的邊AB=1,
則A(0,0),B(1,0),C($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
E(0,$\sqrt{3}$)),
設M的坐標為(x,y),
∵$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC}$,∴(x,y)=r($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
則x=$\frac{3}{2}r$,y=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$,即M($\frac{3}{2}r$,$\frac{\sqrt{3}}{2}r$),
同理可求,N的坐標是($\frac{3}{2}(1-r)$,$\frac{\sqrt{3}}{2}(1+r)$),
∴$\overrightarrow{BM}$=($\frac{3}{2}r-1$,$\frac{\sqrt{3}}{2}r$),$\overrightarrow{BN}$=($\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$,$\frac{\sqrt{3}}{2}(1+r)$),
∵B,M,N三點共線,
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,則($\frac{3}{2}r-1$)×$\frac{\sqrt{3}}{2}(1+r)$-$\frac{\sqrt{3}}{2}r$×($\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$)=0,
化簡得,3r2=1,解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故選C.

點評 本題考查了利用坐標法解決向量的問題,向量的坐標運算,向量相等的條件,以及向量共線的坐標條件,考查方程思想,轉化思想,建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關鍵.

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