Question

13．函數(shù)f（x）=xlnx-a（x-1）²-x，g（x）=lnx-2a（x-1），其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）討論g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：在區(qū)間（1，+∞）上存在f（x）的極值點(diǎn)x₀，使得x₀lnx₀+lnx₀-2x₀＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），導(dǎo)函數(shù)為$g'（x）=\frac{1}{x}-2a$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，$g'（\frac{1}{2a}）=0$，并且，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{2a}$）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）是增函數(shù)；
在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，在區(qū)間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，
即在此區(qū)間上f（x）沒(méi)有零點(diǎn)；又由于f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
則必然f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
f′（x）=lnx-2a（x-1），由（Ⅰ）知，
f′（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2a}$）上是增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上是減函數(shù)．
①若$a≥\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2a}≤1$，在區(qū)間（1，+∞）上，f′（x）是減函數(shù)，
f′（x）≤f′（1）=0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以必然有$0＜a＜\frac{1}{2}$．
②當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，在區(qū)間（1，$\frac{1}{2a}$）上，f′（x）是增函數(shù)，f′（x）＞f′（1）=0；
在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上，f′（x）是減函數(shù)．
依題意，必存在實(shí)數(shù)x₀，使得在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，x₀）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（x₀，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
此時(shí)x₀＞1，且x₀是f（x）的極大值點(diǎn)．
所以f（x₀）＞0，且f′（x₀）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}ln{x_0}-a{（{x_0}-1）^2}-{x_0}＞0\\ ln{x_0}-2a（{x_0}-1）=0\end{array}\right.$，
消去a得到x₀lnx₀+lnx₀-2x₀＞0（x₀＞1）．
設(shè)F（x）=xlnx+lnx-2x（x＞1），$F'（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$．
∵$F''（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}＞0$，∴x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）單調(diào)遞增．又F′（1）=0，
∴x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．∴x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
又F（1）=-2＜0，F(xiàn)（e²）=2＞0．∴存在x₀=e²＞1滿足題意．
亦可直接觀察得到，x₀=e²時(shí)，e2lne²+lne²-2e²=2＞0，滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．