Question

8．已知f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x）．
（1）求f（-1）；
（2）作出函數(shù)圖象，并求x＜0時(shí)f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈{x|-2≤x≤2}，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)是偶函數(shù)，得f（x）=f（-x），可知f（-1）=f（1），代入關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）作圖；
（3）由（2）圖進(jìn)行單調(diào)性和對(duì)稱性的判斷，代入關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），
又∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x），
∴f（-1）=f（1）=2；
（2）見下圖．

（3）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x），
∴f（-x）=-x（1-x），
又f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-x（1-x）=x（x-1），
即x＜0時(shí)，f（x）=x（x-1），
由函數(shù)圖象可得，f（x）在[-2，0]上遞減，在（0，2]上遞增，
且f（-2）=6，f（0）=0，
∴f（x）的值域?yàn)閇0，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．