Question

13．如圖1，在直角梯形EFBC中，F(xiàn)B∥EC，BF⊥EF，且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A為線段FB的中點，AD⊥EC于D，沿邊AD將四邊形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．
（I）求證：BC⊥平面EDB；
（Ⅱ）求直線AM與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出ED⊥平面ABCD，BC⊥ED，BC⊥BD，由此能證明BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）建立坐標系，求出平面BEF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AM與平面BEF所成角的正弦值

解答 證明：（Ⅰ）∵在直角梯形EFBC中，F(xiàn)B∥EC，BF⊥EF，
且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A為線段FB的中點，AD⊥EC于D，
沿邊AD將四邊形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，DE⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴BC⊥ED，
∵AB=AD=1，在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，∵AB=AD=1，CD=2，∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=DC²，∴BC⊥BD，
又BD∩ED=D，∴BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）直線DA，DC，DE兩兩垂直，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DE為x，y，z軸建立空間坐標系
則D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），M（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，0），$\overrightarrow{FB}$=（0，1，-1），
設平面的BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+0+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{0+1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴直線AM與平面BEF所成角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角，熟練掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的關鍵．