Question

已知雙曲線

x2

8

-

y2

24

=1的準(zhǔn)線過橢圓

x2

8

+

y2

b2

=1的焦點，則直線y=kx+3與橢圓至少有一個交點的充要條件為（　�。�

• A、k∈（-∞，-

  6

  4

  ]∪[

  6

  4

  ，+∞）
• B、k∈[-

  6

  4

  ，

  6

  4

  ]
• C、k∈（-∞，-

  2

  3

  ]∪[

  2

  3

  ，+∞）
• D、k∈[-

  2

  3

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

分析：寫出雙曲線的準(zhǔn)線得到橢圓的焦點，得到b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線y=kx+3與橢圓至少有一個交點，得到△≥0，求出結(jié)果．

解答：解：雙曲線

x2

8

-

y2

24

=1的準(zhǔn)線為x=±

8

8+24

=±

2

，
橢圓

x2

8

+

y2

b2

=1的半焦距c=

2

，于是8=b²+2，b=

6

，
所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

6

=1．
聯(lián)立方程，得

y=kx+3l 3x2+4y2=24

消y得：3x²+4（kx+3）²=24，
整理得（3+4k²）x²+24kx+12=0，
要使直線y=kx+3與橢圓至少有一個交點，則有△≥0．
即：（24k）²-4×（3+4k²）×12≥0，12k²-3-4k²≥0，k2≥

3

8

，k≥

6

4

或k≤-

6

4

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的交點個數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根的判別式得到結(jié)果．