Question

若函數(shù)y=f（x）是周期為2的偶函數(shù)，當x∈[2，3]時，f（x）=x-1．在y=f（x）的圖象上有兩點A、B，它們的縱坐標相等，橫坐標都在區(qū)間[1，3]上，定點C的坐標為（0，a）（其中2＜a＜3），
（1）求當x∈[1，2]時，f（x）的解析式；
（2）定點C的坐標為（0，a）（其中2＜a＜3），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當x∈[2，3]時，f（x）=x-1，知當x∈[0，1]時，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．由f（x）是偶函數(shù)，知當x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-x+1．由此能求出當x∈[1，2]時，f（x）的解析式．
（2）設A、B的橫坐標分別為3-t，t+1，1≤t≤2，則|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，故△ABC的面積為S=（2t-2）•（a-t）=-（t-）²+，由此能求出S_最大值．
解答：解：（1）∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
當x∈[2，3]時，f（x）=x-1，
∴當x∈[0，1]時，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．…（1分）
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-x+1，…（2分）
當x∈[1，2]時，f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=-x+3．…（4分）
（2）設A、B的橫坐標分別為3-t，t+1，1≤t≤2，
則|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，…（6分）
∴△ABC的面積為S=（2t-2）•（a-t）
=-t²+（a+1）t-a（1≤t≤2）
=-（t-）²+，
∵2＜a＜3，∴＜＜2．
當t=時，S_最大值=．…（12分）
點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．