Question

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA丄底面ABCD底面ABCD為矩形，E為PD上一點(diǎn)，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

⑴若F為PE的中點(diǎn)，求證BF∥平面ACE；

⑵求三棱錐P﹣ACE的體積．

Answer 1

 解：（1）若F為PE的中點(diǎn)，由于底面ABCD為矩形，E為PD上一點(diǎn)，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是線段PD的三等分點(diǎn)．

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE是△BDF的中位線，

故有BF∥OE，而OE在平面ACE內(nèi)，BF不在平面ACE內(nèi)，故BF∥平面ACE．

（2）由于側(cè)棱PA丄底面ABCD，且ABCD為矩形，

故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．

三棱錐P﹣ACE的體積V_P﹣ACE=V_C﹣PAE

=S_△PAE•CD=•（•S_△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．