Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ax+b

（a、b為常數(shù)，a≠0）滿足f（2）=1，且f（x）=x有唯一解，若記x_n=f（x_n-1），且x₁=1，求x_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得2a+b=2，△=（b-1）²=0，從而a=

1

2

，b=1，進(jìn)而f（x）=

2x

x+2

，由x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，x₁=1，得

1

xn

=

xn-1+2

2xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

，由此得到{

1

x1

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，從而能求出x_n．

解答： 解：∵f（x）=

x

ax+b

，f（2）=1，∴2a+b=2①，
∵f（x）=x有唯一解，
∴ax²+（b-1）x=0，△=（b-1）²=0②，
由①②得：a=

1

2

，b=1，
∴f（x）=

2x

x+2

，
∵x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，x₁=1，
∴

1

xn

=

xn-1+2

2xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，又

1

x1

=1，
∴{

1

x1

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

xn

=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

．
∴x_n=

2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出{

1

x1

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列．