Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄＜0，S₇=S₁₂，問(wèn)：n取何值時(shí)，S_n取得最小值？

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)a₄＜0，S₇=S₁₂可得d＞0，而S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，得到S_n是一個(gè)關(guān)于n的開(kāi)口向上拋物線，從而可以求出當(dāng)S_n取得最小值時(shí)n的值．

解答： 解：由S₇=S₁₂，得：
7a₁+

7×6

2

d=12a₁+

12×11

2

d，
解得：a₁=-9d，又a₄＜0，得到d＞0，
所以S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，
由d＞0，得到S_n是一個(gè)關(guān)于n的開(kāi)口向上拋物線，且S₇=S₁₂，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)n=

7+12

2

，而n是正整數(shù)，所以n=9或10時(shí)，S_n取得最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．