Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2+a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=-x²+3x-lnx（x＞0）．f′（x）=-2x+3-

1

x

=

-(2x-1)(x-1)

x2

．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得出極值．
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時，f′（x）=

(1-a)x2+ax-1

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，對a分類討論：當(dāng)a=2時，當(dāng)1＜a＜2時，當(dāng)a＞2時，即可得出單調(diào)性；
（Ⅲ）假設(shè)存在a滿足題意，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2+a恒成立，可得f（x₂）-ax₂-2x₂＜f（x₁）-ax₁-2x₁，令g（x）=f（x）-ax-2x，則g（x）=

1-a

2

x2-2x-lnx，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=-x²+3x-lnx（x＞0）．
f′（x）=-2x+3-

1

x

=

-(2x-1)(x-1)

x2

．
當(dāng)

1

2

＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）_極大值=f（1）=2，f（x）_極小值=f(

1

2

)=

5

4

+ln2．

（Ⅱ）當(dāng)a＞1時，f′（x）=

(1-a)x2+ax-1

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，
當(dāng)a=2時，f′（x）=

-(x-1)2

x

≤0，函數(shù)f（x）在x＞0時單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜a＜2時，

1

a-1

＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞

1

a-1

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；令f′（x）＞0，解得1＜x＜

1

a-1

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞2時，0＜

1

a-1

＜1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜

1

a-1

或x＞1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；令f′（x）＞0，解得

1

a-1

＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)1＜a＜2時，f（x）在x∈（0，1）或(

1

a-1

，+∞)）單調(diào)遞減；f（x）在(1，

1

a-1

)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞2時，f（x）在(0，

1

a-1

)或（1，+∞）上）單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在(

1

a-1

，1)上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）假設(shè)存在a滿足題意，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2+a恒成立，
可得f（x₂）-ax₂-2x₂＜f（x₁）-ax₁-2x₁，
令g（x）=f（x）-ax-2x，則g（x）=

1-a

2

x2-2x-lnx，
由題意可知：g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g′（x）=（1-a）x-2-

1

x

≤0，化為a≥1-

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．