Question

已知過曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,且.

⑴求曲線的方程；

⑵設(shè)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

⑴

⑵當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).

【解析】

試題分析：⑴要求曲線方程,但是不知道是哪種曲線,所以只能設(shè)點(diǎn).根據(jù),轉(zhuǎn)化為求曲線方程即可;

⑵要證明直線恒過定點(diǎn),必須得有直線方程,所以首先設(shè)出直線方程.又因?yàn)閮蓚�(gè)角是直線和的傾斜角,所以點(diǎn)也得設(shè)出來.利用韋達(dá)定理,然后討論的范圍變化,證明并得出定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：⑴設(shè)，則，由得，;

即;所以軌跡方程為;

⑵設(shè)，由題意得（否則）且,

所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720090273704871/SYS201411172009139405729445_DA/SYS201411172009139405729445_DA.016.png">在拋物線上,所以，

將與聯(lián)立消去，得;

由韋達(dá)定理知①;

(1)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，,所以，

,所以.由①知：,所以

因此直線的方程可表示為，即.

所以直線恒過定點(diǎn)

(2)當(dāng)時(shí)，由，得==

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，

此時(shí)，直線的方程可表示為,

即,所以直線恒過定點(diǎn);

所以由(1)(2)知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn). 12分

考點(diǎn)：相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程;分類討論.