Question

設函數(shù)f（x）=2-3e^x的圖象與x軸相交于點P，求曲線在點P處的切線的方程，并說明你的解答中的主要步驟（三步）．

Answer 1

分析：先設出點P的坐標（x₀，0），根據(jù)函數(shù)f（x）=2-3e^x的圖象與x軸相交于點P求出點P的坐標，然后求出函數(shù)在x=x₀處的導數(shù)，即切線的斜率，最后利用點斜式求出直線方程，最后寫成斜截式即可．

解答：解：∵點P在X軸上，∴設P（x₀，0），（1分）
則切線斜率為f'（x₀）（2分），
∵f（x）=2-3e^x與X軸交于點P，則有0=2-3ex0，（3分）
ex0=

2

3

，x0=ln

2

3

，（5分）
∵f'（x）=-3e^x，（7分）
切線斜率為f′(x0)=-3eln

2

3

=-2，（8分）
∴切線方程為y-0=f′(x0)(x-x0)=-2(x-ln

2

3

)，即y=-2x+2ln

2

3

．（10分）
第一步：求出點P坐標；
第二步：求出函數(shù)在x=x₀處的導數(shù)，即切線的斜率；
第三步：求出切線方程．（12分，如果少了一步，或不夠簡明，扣1分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，解題的基本步驟是第一步：求出點P坐標；第二步：求出函數(shù)在x=x₀處的導數(shù)，即切線的斜率；第三步：求出切線方程．