Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，x＞0，
∴f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，
當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=x-$\frac{k}{x}$=0，解得x=$\sqrt{k}$，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＞$\sqrt{k}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜$\sqrt{k}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{k}$）上單調(diào)性遞減，在（$\sqrt{k}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\sqrt{k}$時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{k}$，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，關(guān)鍵時(shí)求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．