Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．

Answer 1

分析 幾何體為圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，求出圓臺(tái)和圓錐的底面半徑，高和母線，代入面積公式和體積公式計(jì)算即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，作DF⊥CE于F，
則AE=AD=2，CE=4，BE=3，∴BC=5，
四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，
其中，圓臺(tái)的上下底面半徑為r₁=2，r₂=5，高為4，母線l=5，
圓錐的底面半徑為2，高為2，母線l′=2$\sqrt{2}$，
∴幾何體的表面積S=25π+π×2×5+π×5×5+$π×2×2\sqrt{2}$=60π+4$\sqrt{2}$π．
幾何體的體積V=$\frac{1}{3}$（25π+4π+$\sqrt{25π•4π}$）×4-$\frac{1}{3}$×4π×2=$\frac{148π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，面積和體積計(jì)算，屬于中檔題．