Question

若直線l與橢圓x²+

y2

9

=1相交于不同的兩點M、N，且線段MN恰好被直線x+

1

2

=0平分，則直線l的傾斜角范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：根據(jù)題意，設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式△＞0得出k、b關(guān)系，
再由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)MN的中點的橫坐標(biāo)求得k和b的關(guān)系，從而求出b、k的范圍，得出直線傾斜角的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)題意，直線l不與坐標(biāo)軸平行；
設(shè)直線方程為y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

y=kx+b x2+ y2 9 =1

，
消去y，整理得，
（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0；
則△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，即k²-b²+9＞0；
∴x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁x₂=

b2-9

9+k2

；
又∵線段MN被直線x+

1

2

=0平分，
∴MN中點的橫坐標(biāo)x=

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

，
即x₁+x₂=-1，∴9+k²=2kb，
整理得（k-b）²=b²-9≥0，
∴b²≥9，即b≥3或b≤-3；
又∵b（b-2k）＜0，
∴當(dāng)b≥3時，b-2k＜0，k＞

b

2

≥

3

2

，
b≤-3＜0時，b-2k＞0，k＜

b

2

≤-

3

2

；
∴k的取值范圍是（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）
∴直線l的傾斜角的取值范圍是（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）．
故答案為：（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用直線方程與圓錐曲線方程組成方程組消去一個變量后，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解答問題，是綜合題目．