【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式對任意的正實數(shù)都成立,求實數(shù)的最大整數(shù);
(3)當時,若存在實數(shù)且,使得,求證: .
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2);(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)當時, ,通過求導得出函數(shù)的單調(diào)性;(2)由可得對任意的正實數(shù)都成立,等價于對任意的正實數(shù)都成立,設,求出,即可求出實數(shù)的最大整數(shù);(3)由題意,( ),得出在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),若存在實數(shù), ,則介于之間,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組,即可求證.
試題解析:(1)當時,
當時, ,
∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
當時, ,令,
當時, ;當時, ,
∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù).
且,綜上, 的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.
(2)由可得對任意的正實數(shù)都成立,即對任意的正實數(shù)都成立.
記,則 ,可得,
令
∴在上為增函數(shù),即在上為增函數(shù)
又∵,
∴存在唯一零點,記為 ,
當時, ,當時, ,
∴在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù).
∴的最小值為.
∵,
∴,可得.
又∵
∴實數(shù)的最大整數(shù)為2.
(3)由題意,( ),
令, 由題意可得, ,
當時, ;當時,
∴函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
若存在實數(shù), ,則介于之間,不妨設.
∵在上單減,在上單增,且,
∴當時, ,
由,可得,故,
又∵在上單調(diào)遞減,且
∴.
∴,同理,則,解得
∴.
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【題目】某玩具所需成本費用為P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的價格為Q元,其中Q(x)=a+ (a,b∈R),
(1)問:玩具廠生產(chǎn)多少套時,使得每套所需成本費用最少?
(2)若生產(chǎn)出的玩具能全部售出,且當產(chǎn)量為150套時利潤最大,此時每套價格為30元,求a,b的值.(利潤=銷售收入-成本).
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【題目】已知△ABC的頂點C在直線3x﹣y=0上,頂點A、B的坐標分別為(4,2),(0,5).
(Ⅰ)求過點A且在x,y軸上的截距相等的直線方程;
(Ⅱ)若△ABC的面積為10,求頂點C的坐標.
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【題目】2018年2月25日,平昌冬奧會閉幕式上的“北京8分鐘”驚艷了世界。我們學校為了讓我們更好的了解奧運,了解新時代祖國的科技發(fā)展,在高二年級舉辦了一次知識問答比賽。比賽共設三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個問題,兩個問題全答對,可進入下一關(guān);第三關(guān)有三個問題,只要答對其中兩個問題,則闖關(guān)成功。每過一關(guān)可一次性獲得分別為1、2、3分的積分獎勵,高二、一班對三關(guān)中每個問題回答正確的概率依次為,且每個問題回答正確與否相互獨立.
(1)記表示事件“高二、一班未闖到第三關(guān)”,求的值;
(2)記表示高二、一班所獲得的積分總數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=,橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線的方程;
(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.
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【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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【題目】隨著國家二孩政策的全面放開,為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.
非一線城市 | 一線城市 | 總計 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
總計 | 58 | 42 | 100 |
附表:
由算得,,
參照附表,得到的正確結(jié)論是
A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C. 有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
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【題目】已知函數(shù).
(1)請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象(先在所給的表格中填上所需的數(shù)字,再畫圖);
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應的的值.
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【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱與地面垂直,燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直,路燈采用錐形燈罩,射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示.已知,,路寬米.設.
(1)求燈柱的高(用表示);
(2)此公司應該如何設置的值才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最。孔钚≈禐槎嗌?
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