Question

19．設f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求證：
（1）g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（2）求函數(shù)y=[f（x）]²+mg（x）最小值h（m）．

Answer 1

分析 （1）運用指數(shù)的運算性質，由兩邊證，即可得到結論；
（2）求得函數(shù)的解析式，令t=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$（t≥1），則y=t²+mt-1，求出對稱軸，討論與區(qū)間[1，+∞）的關系，即可求得最小值．

解答 （1）證明：由g（2x）=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$，
[g（x）]²+[f（x）]²=（$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$）²+（$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$）²
=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$，
即有g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（2）解：函數(shù)y=[f（x）]²+mg（x）=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$+m•$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
可令t=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$（t≥1），則y=t²+mt-1，
對稱軸為t=-$\frac{m}{2}$，
當-$\frac{m}{2}$≤1即m≥-2時，函數(shù)在[1，+∞）遞增，
則最小值為h（m）=m；
當-$\frac{m}{2}$＞1即m＜-2時，函數(shù)在（1，-$\frac{m}{2}$）遞減，在（-$\frac{m}{2}$，+∞）遞增，
即有最小值h（m）=$\frac{-4-{m}^{2}}{4}$．
綜上可得h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{{m}^{2}}{4}，m＜-2}\\{m，m≥-2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．