Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（a，b）上的函數(shù)，若對?x₁，x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的“溫和函數(shù)”，下列函數(shù)不是其定義域上的“溫和函數(shù)”的是（　�。�

• A、f（x）=x²-x，x∈（-1，1）
• B、f（x）=sinx，x∈R
• C、f（x）=e^x，x∈（-∞，0）
• D、f（x）=lnx，x∈（1，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用新定義，判斷表達式的幾何意義，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的斜率的范圍，推出結(jié)果即可．

解答： 解：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（a，b）上的函數(shù)，若對?x₁，x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，可得|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|≤1，即函數(shù)圖象上任意兩點的連線的斜率的絕對值小于等于1．則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的“溫和函數(shù)”，
因為f（x）=x²-x，x∈（-1，1），f′（x）=2x-1，x∈（-1，1）時，f′（x）∈（-3，1），不滿足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，因此f（x）=x²-x，x∈（-1，1），不是x∈（-1，1），上的“溫和函數(shù)”；
f（x）=sinx，x∈R，可得f′（x）=cosx∈[-1，1]．滿足新定義．
f（x）=e^x，x∈（-∞，0），f′（x）=e^x∈（0，1），滿足新定義．
f（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）=

1

x

∈（0，1）．滿足新定義．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查新定義的理解，學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．