Question

【題目】己知函數(shù)

(1)設(shè)時(shí)，判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)，是否存在實(shí)數(shù)，對且，有恒成立，若存在，求出的范圍：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上無零點(diǎn)（2）存在，的取值范圍是[2，+∞)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在(0，1)，(1，+∞)單調(diào)遞增，在(1，)上遞減，可得在單調(diào)遞增且可知無零點(diǎn)（2）化簡得，由可得（）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，需有恒成立，分離參數(shù)求解即可.

(1)的定義域是(0，+∞)

，

令得到：，，且

所以函數(shù)在(0，1)，(1，+∞)單調(diào)遞增，在(1，)上遞減

因?yàn)?/span>

所以在單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，

所以在上無零點(diǎn).

(2)因?yàn)?/span>，

所以

化簡得

不妨設(shè)可化為；

考查函數(shù)則

即，整理可得

令，則，

因此單調(diào)遞減，所以

所以

綜上：的取值范圍是[2，+∞)