Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
（1）證明：CD⊥平面PAC；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD可證明PA⊥CD，在△ACD中，由已知可得AC²+CD²=AD²，即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，從而證明CD⊥平面PAC．
（2）先求S_{四邊形ABCD}=AB×AC=

3

，從而由V_P-ABCD=

1

3

×S_{四邊形ABCD}×PA，即可求解．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD…（2分）
在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=

3

，
∴AC²+CD²=AD²
∴∠ACD=90°，即CD⊥AC…（4分）
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC…（6分）
（2）∵S_{四邊形ABCD}=AB×AC=

3

…（9分）
∴V_P-ABCD=

1

3

×S_{四邊形ABCD}×PA=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了棱柱、棱錐、棱臺的體積的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結合和等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．