Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，E為棱AA₁上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（1）證明：BD⊥EC₁；
（2）若AF∥平面C₁DE，求

AE

A1A

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，AE∥CC₁，推出底面A₁B₁C₁D₁是正方形．然后證明BD⊥平面EACC₁，即可證明BD⊥EC₁；
（2）設(shè)平面C₁DE交A₁B₁于G，連接C₁G，EG，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理及平行線分線段成比例定理，可得G是A₁B₁的中點(diǎn)，E為AA₁的中點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：（1）連接AC，AE∥CC₁，⇒E，A，C，C₁共面，
長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，
所以BD⊥平面EACC₁，
所以BD⊥EC₁；
（2）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，設(shè)平面C₁DE交A₁B₁于G，如圖所示：
∵AF∥平面C₁DE，AF?平面ABCD，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
故AF∥C₁G，
由F是CD的中點(diǎn)．可得G是A₁B₁的中點(diǎn)，
又∵平面A₁B₁BA∥平面C₁D₁DC，
故EG∥C₁D，
故E為AA₁的中點(diǎn)，
故

AE

A1A

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力計(jì)算能力．