Question

5．在△ABC中，已知sinA=2sinB•cosC，且（a+b+c）（b+c-a）=3bc，則△ABC為（　�。�

• A． 等邊三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 第一個等式變形后，利用余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求出A的度數(shù)，第二個等式化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，得到B=C，即確定出三角形形狀．

解答 解：將（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）²-a²=3bc，即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，
則△ABC為等邊三角形．
故選：A．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．