Question

13．若等差數(shù)列{a_n}的首項${a_1}=C_{5m}^{11-2m}-A_{11-3m}^{2m-2}（m∈{N^*}）$，公差是${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^n}$的展開式中的常數(shù)項，其中n為77⁷⁷-15除以19的余數(shù)，則等差數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-4n+104．

Answer 1

分析 由題意列不等式組求得數(shù)列首項，再由二項式定理求得n，進一步得到等差數(shù)列的公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由${a_1}=C_{5m}^{11-2m}-A_{11-3m}^{2m-2}（m∈{N^*}）$，得
$\left\{\begin{array}{l}{11-2m≤5m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{7}≤m≤\frac{13}{5}$，
∵m∈N^*，∴m=2．
則${a}_{1}={C}_{10}^{7}-{A}_{5}^{2}$=100．
又由77⁷⁷-15=（76+1）⁷⁷-15=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-15，
可得n=5，則數(shù)列的公差d=-4，
從而等差數(shù)列的通項公式是a_n=104-4n，
故答案為：-4n+104．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了排列組合及二項式定理的應用，綜合性較強，屬中檔題．