Question

設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=

e-x

2

（ax²+a+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在R上為減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過a=-1，得到函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，以及函數(shù)的端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a=0時(shí)，a＞0，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)小于0，直接證明f（x）在R上為減函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-

e-x

2

•x²，f′（x）=

e-x

2

（x²-2x）．
由f′（x）=0，得x=0或x=2．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在x=0處取得極大值0．
又f（-1）=-

1

2

e，f（2）=-

2

e2

，
故在[-1，2]上，f（x）的極大值為0，最小值為-

e

2

；
（Ⅱ）證明：f′（x）=-

1

2

e^-x（ax²-2ax+a+1）．
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-

1

2

e^-x＜0，
∴f（x）在R上為減函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，△=4a²-4a（a+1）=-4a＜0，
∴ax²-2ax+a+1＞0恒成立，則f′（x）＜0，
此時(shí)，f（x）在R上為減函數(shù)．
故當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在R上為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法以及利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查計(jì)算能力．