Question

設x∈R，函數(shù)f（x）=

e-x

2

（ax²+a+1）．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求證：當a≥0時，f（x）在R上為減函數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過a=-1，得到函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，以及函數(shù)的端點的函數(shù)值，即可求f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過a=0時，a＞0，判斷函數(shù)的導數(shù)的符號小于0，直接證明f（x）在R上為減函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-

e-x

2

•x²，f′（x）=

e-x

2

（x²-2x）．
由f′（x）=0，得x=0或x=2．
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0；當0＜x＜2時，f′（x）＜0．
∴f（x）在x=0處取得極大值0．
又f（-1）=-

1

2

e，f（2）=-

2

e2

，
故在[-1，2]上，f（x）的極大值為0，最小值為-

e

2

；
（Ⅱ）證明：f′（x）=-

1

2

e^-x（ax²-2ax+a+1）．
當a=0時，f′（x）=-

1

2

e^-x＜0，
∴f（x）在R上為減函數(shù)．
當a＞0時，△=4a²-4a（a+1）=-4a＜0，
∴ax²-2ax+a+1＞0恒成立，則f′（x）＜0，
此時，f（x）在R上為減函數(shù)．
故當a≥0時，f（x）在R上為減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法以及利用導數(shù)證明函數(shù)的單調性的方法，考查計算能力．