Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁和x₂，記過(guò)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，問(wèn)：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）證明：

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，令f′（x）=

x2-2x+1

x2

≥0，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設(shè)存在a，使得k=2-a，根據(jù)（1）利用韋達(dá)定理求出直線斜率為k，根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，推出矛盾，即可解決問(wèn)題；
（3）證明

n

k-2

ln

k-1

k+1

=ln

2

n(n+1)

，利用分析法，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

x2-2x+1

x2

≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）由f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁和x₂，知，a＞2．
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

-a（lnx₁-lnx₂），
∴k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=1+

1

x1x2

-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
又f（x）=x-

1

x

-alnx，∴f′（x）=

x2-ax+1

x2

由f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁和x₂，可得x₁x₂=1．于是k=2-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
若存在a，使得k=2-a，則

lnx1-lnx2

x1-x2

=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即x2-

1

x2

-2lnx2=0（*）
再由（1）知，函數(shù)h（t）=t-

1

t

-2lnt在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而x₂＞1，
∴x2-

1

x2

-2lnx2＞1-1-2ln1=0，這與（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
（3）∵

n

k=2

ln

k-1

k+1

=ln

2

n(n+1)

，
∴

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

?ln

2

n(n+1)

＞

2-n-n2

2n(n+1)

?ln

n(n+1)

2

＜

n2+n-2

2n(n+1)

，
令x=

n(n+1)

2

＞1，則ln

n(n+1)

2

＜

n2+n-2

2n(n+1)

?x-

1

x

-2lnx＞0，
由上知x-

1

x

-2lnx＞0成立，∴

n

k=2

ln

k-1

k+1

＞

2-n-n2

2n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，對(duì)方程f'（x）=0有無(wú)實(shí)根，有實(shí)根時(shí)，根是否在定義域內(nèi)和根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．