Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

4

3

，且a_n+1=

4(n+1)an

3an+n

（n∈N^*）．
（1）求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）設(shè)b_n=

an

n

（n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明：b₁b₂b₃…b_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）取倒數(shù)，證明{

n

an

-1}是以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，即可求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵證明0＜

ak+1

k+1

＜1．

解答： （1）解：∵a_n+1=

4(n+1)an

3an+n

，
∴

n+1

an+1

-1=

1

4

（

n

an

-1），
∵a₁=

4

3

，
∴{

n

an

-1}是以-

1

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴

n

an

-1=-

1

4

•(

1

4

)n-1，
∴

n

an

=1-

1

4

•(

1

4

)n-1，
∴

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=n+

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=n+

1

3

（1-

1

4n

）；
（2）證明：n=1時(shí)，b₁=a₁=

4

3

＜2，滿足題意；
設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即b₁b₂b₃…b_k＜2

ak+1

k+1

，
則n=k+1時(shí)，b₁b₂b₃…b_k+1＜2b_k+1=2×

ak+1

k+1

，
由（1）知，

n

an

=1+

3

4

•(

1

4

)n-1＞1，∴0＜

ak+1

k+1

＜1，
∴b₁b₂b₃…b_k+1＜2，
由（1）（2）可知b₁b₂b₃…b_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判斷，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．