Question

已知曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2在第一象限內(nèi)交點(diǎn)為P．
（1）求過點(diǎn)P且與曲線C₂相切的直線方程；
（2）求兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積S．

Answer 1

分析：（1）先通過解方程組求交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先確定積分區(qū)間，再確定被積函數(shù)，從而可求由兩條曲線曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2所圍圖形的面積．

解答：解：（1）曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2在第一象限內(nèi)交點(diǎn)為P（2，2）
C₂：y=

1

2

x2的導(dǎo)數(shù)y'=x
y'|_x=2=2
而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）
∴曲線C₂：y=

1

2

x2在x=2的處的切線方程為y-2=2（x-2），即2x-y-2=0．

（2）由曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2可得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，2）
∴兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積：
S=

∫

2 0

（

2x

-

1

2

x2）dx=（

2

×

2

3

x 

3

2

-

1

6

x3）

|

2 0

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，定積分在求面積中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．