Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，CB=CD=3，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A'-BDC，O為BD的中點，M為OC的中點，點N在線段A'B上，滿足$A'N=\frac{1}{4}A'B$．

（Ⅰ）證明：MN∥平面A'CD；
（Ⅱ）若A'C=3，求點B到平面A'CD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點N作BD的平行線，交直線A'D于點E，證明：四邊形MNEF為平行四邊形，可得MN∥EF，即可證明MN∥平面A'CD；
（Ⅱ）若A'C=3，利用等體積方法，即可求點B到平面A'CD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：過點N作BD的平行線，交直線A'D于點E，
過點M作BD的平行線，交直線CD于點F，…（1分）
因為NE∥BD，MF∥BD，所以NE∥MF，
且$NE=MF=\frac{1}{4}BD$，所以四邊形MNEF為平行四邊形，…（3分）
所以MN∥EF，且EF?平面A'CD，MN?平面A'CD，
所以MN∥平面A'CD．…（4分）
（Ⅱ）解：因為A'C=3，所以A'O⊥OC，且A'O⊥BD，OC∩BD=O，所以A'O⊥平面BCD．…（6分）
由：V_B-A'CD=V_A'-BCD${S_{A'CD}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，…（8分）
${S_{BCD}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{14}$，$A'O=\sqrt{2}$，…（10分）
所求點B到平面A'CD的距離$h=\frac{{\sqrt{14}×\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查體積的計算，屬于中檔題．