Question

11．設(shè)數(shù)列{x_n}滿足x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*），x₁=2．
（1）求證：{x_n+1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）求證：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）判斷數(shù)列{x_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．然后求解通項(xiàng)公式．
（2）要使對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，轉(zhuǎn)化為：$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞{（{\frac{1}{x_n}}）_{max}}=\frac{1}{2}$，然后求解實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）由（1）知$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}$，當(dāng)n≥1時(shí)，3ⁿ-1≥2×3^n-1，利用放縮法以及等比數(shù)列求和，證明即可．

解答 解：（1）證明：由x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*）得x_n+1=3（x_n-1+1）（n≥2且n∈N^*）
∵x₁+1=3，∴x_n+1≠0，∴$\frac{{{x_n}+1}}{{{x_{n-1}}+1}}=3$，（n≥2且n∈N^*）
∴{x_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
∴${x_n}+1=（{{x_1}+1}）{3^{n-1}}={3^n}$．
∴${x_n}={3^n}-1$，n∈N^*．
（2）要使對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，
則須使$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞{（{\frac{1}{x_n}}）_{max}}=\frac{1}{2}$，
即t²-2mt＞0，對(duì)任意m∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$，解得t＞2或t＜-2，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）證明：由（1）知$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}$，當(dāng)n≥1時(shí)，3ⁿ-1≥2×3^n-1，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}≤\frac{1}{2}（{\frac{1}{3^0}+\frac{1}{3^1}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}}）=\frac{3}{4}（{1-\frac{1}{3^n}}）＜\frac{3}{4}$，
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．