Question

6．如圖，雙曲線(xiàn)$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，且OA=c，AF₁與y軸交于點(diǎn)B，若F₂B是∠AF₂F₁的角平分線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率是1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用直角三角形的判定，可得AB⊥AF₂，再由內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)可得即有|BA|=|BO|，|OF₂|=|AF₂|=c，由雙曲線(xiàn)的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，運(yùn)用勾股定理，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式解方程，即可得到．

解答 解：由O為F₁F₂的中點(diǎn)，
且|OA|=c，
|OF₁|=|OF₂|=c，
可得AB⊥AF₂，
F₂B是∠AF₂F₁的角平分線(xiàn)，
即有|BA|=|BO|，
|OF₂|=|AF₂|=c，
由雙曲線(xiàn)的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
則|AF₁|=c+2a，
即有在直角三角形AF₁F₂中，c²+（c+2a）²=4c²，
即c²-2ac-2a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$，
由于e＞1，則e=1+$\sqrt{3}$．
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用直角三角形的勾股定理和內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．