Question

（1）已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，cosα=

3

5

，sin（α+β）=

5

13

，求sinα和cosβ的值．
（2）已知sinx+cosx=

1

5

，x∈（0，π），求tanx的值．

Answer 1

分析：（1）由α的范圍得到sinα大于0，再由cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，再由sin（α+β）的值，得到α+β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+β）的值，將所求式子中的角β變形為（α+β）-α，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，把各自的值代入即可求出值；
（2）將已知等式左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出2sinxcosx的值小于0，再由x的范圍得到sinx大于0，cosx小于0，求出sinx-cosx的值，進而確定出sinx與cosx的值，得到tanx的值．

解答：解：（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∵sin（α+β）=

5

13

，∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

12

13

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

；
（2）由sinx+cosx=

1

5

，得到（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=

1

25

，
∴2sinxcosx=-

24

25

，又x∈（0，π），
∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx-cosx=

1-2sinxcosx

=

7

5

，
∴sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

，
則tanx=-

4

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．