Question

3．已知函數f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當0＜a＜1時．求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）換元，令x-3=t，可求t的范圍：-3＜t＜3，這樣便得到f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+3}{3-t}$，從而得出f（x），并求f（-x），這樣即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）函數f（x）=$lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}$是由函數u=$\frac{x+3}{3-x}$和y=log_au復合而成，根據a的范圍可判斷y=log_au為減函數，從而判斷$u=\frac{x+3}{3-x}$在（-3，3）上單調性，并求其單調區(qū)間便可得出函數f（x）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）令x-3=t，-3＜t＜3，則x=t+3；
f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+3}{3-t}$；
∴$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}，-3＜x＜3$；
∴$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{3-x}{3+x}=-lo{g}_{a}\frac{x+3}{3-x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數；
（2）令u=$\frac{x+3}{3-x}$=$\frac{-（3-x）+6}{3-x}$=$-1+\frac{6}{3-x}$，該函數在（-3，3）上為增函數；
又0＜a＜1；
∴函數log_au為減函數；
∴復合函數f（x）單調減區(qū)間為（-3，3）．

點評 考查換元法求函數解析式，奇函數的定義，以及根據奇偶函數的定義判斷函數奇偶性的方法，復合函數的定義，對數函數的單調性，復合函數單調性的判斷方法．