Question

在等比數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=

3

2

，S₃=

9

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n-S_n+2=

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？，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知條件可解得q和首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)q=1時(shí)不合題意，當(dāng)a₁=6，q=-

1

2

時(shí)可得n的方程，解得n值，綜合可得．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則S₃=a₁+a₂+a₃=a₃（q^-2+q^-1+1）=

9

2

，
由a₃=

3

2

可得q^-2+q^-1+1=3，
整理可得2q²-q-1=0，解得q=1，或q=-

1

2

，
當(dāng)q=1時(shí)，a_n=a₃=

3

2

，
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，可得a₁=6，a_n=6×(-

1

2

)n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)q=1時(shí)，S_n=

3

2

n，S_n-S_n-2=3≠

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，
當(dāng)a₁=6，q=-

1

2

時(shí)，S_n=

6[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=4[1-(-

1

2

)n]，
由S_n-S_n-2=

3

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可得4[1-(-

1

2

)n]-4[1-(-

1

2

)n-2]=

3

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，
化簡可得-3(-

1

2

)n=

3

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，即(-

1

2

)n=-

1

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，解得n=5
綜上可得存在正整數(shù)n=5，使得S_n-S_n+2=

3

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點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬中檔題．