Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若x=-

1

3

是函數(shù)f（x）的極值點，求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-bx，在（2）的條件下，若函數(shù)g（x）恰有3個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立；
（2）先求出a的值，再確定函數(shù)f（x）在[1，a]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．
（3）函數(shù)g（x）有3個零點?方程f（x）-bx=0有3個不相等的實根，即方程x³-4x²-3x=bx有3個不等實根．x=0是其中一個根，只需滿足方程x²-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有

a

3

≤1，且f′（1）=-2a≥0．
∴a≤0．
（2）依題意，f′（-

1

3

）=0，
即

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x．
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-

1

3

，x₂=3．
則當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（3）函數(shù)g（x）有3個零點?方程f（x）-bx=0有3個不相等的實根．
即方程x³-4x²-3x=bx有3個不等實根．
∵x=0是其中一個根，
∴只需滿足方程x²-4x-3-b=0有兩個非零不等實根．
∴

-3-b≠0 16-4(-3-b)＞0

∴b＞-7且b≠-3．
故實數(shù)b的取值范圍是b＞-7且b≠-3．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點，正確運用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．