Question

8．.已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：對(duì)任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*，n＞1時(shí)，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=（n-2）2ⁿ+2，相減可得：na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ，化簡(jiǎn)即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂項(xiàng)求和方法可得：T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*，n＞1時(shí)，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=（n-2）2ⁿ+2，
∴na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ，化為：a_n=2ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，上式也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（II）證明：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴對(duì)任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．