Question

6．已知定義域為R的函數(shù)y=g（x）滿足以下條件：
①?x∈R，g（3-x）=g（3+x）；
②g（x）=g（x+2）；
③當x∈[1，2]時，g（x）=-2x²+4x-2．
若方程g（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在[0，+∞）上至少有5個不等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}]$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）$
• D． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和周期性，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由g（3-x）=g（3+x），
知即g（x）的圖象
關(guān)于直線x=3對稱，
由g（x）=g（x+2）知，
g（x）的一個周期T=2．
結(jié)合當x∈[1，2]時，
g（x）=-2x²+4x-2，
作出g（x）的圖象與函數(shù)
y=log_a（x+1）（x＞0）的圖象，
則方程g（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有5個不等的實根等價于
函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=log_a（x+1）（x＞0）的圖象至少有5個交點，
如圖所示，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}（4+1）=lo{g}_{a}5＞-2}\end{array}\right.$，
 所以0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程根的個數(shù)問題解法，根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和周期性，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．