Question

8．設(shè)f（x）是定義在R上連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足條件f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）的所有x之積為-4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得：若f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）=f（$\frac{x+2}{x+3}$），則|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得每個(gè)方程的兩根之積，將其相乘即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，
則f（x）在（-∞，0）上也單調(diào)，
若f（x）=f（1-$\frac{1}{x+3}$）=f（$\frac{x+2}{x+3}$）
則必有|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|，即±x=$\frac{x+2}{x+3}$，
若x=$\frac{x+2}{x+3}$，即x²+2x-2=0，則x₁•x₂=-2，
若-x=$\frac{x+2}{x+3}$，即x²+4x+2=0，則x₃•x₄=2，
∴故方程|x|=|$\frac{x+2}{x+3}$|有4個(gè)解，且4個(gè)解之積x₁•x₂•x₃•x₄=-4，
故選：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)的含義，屬于中檔題