Question

6．設(shè)圓C與兩圓（x+$\sqrt{5}$）²+y²=4，（x-$\sqrt{5}$）²+y²=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓心C的軌跡L的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F₁的距離加2與圓心C到圓心F₂的距離減2或圓心C到圓心F₁的距離減2與圓心C到圓心F₂的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)4，且小于兩圓心的距離2$\sqrt{5}$，可知圓心C的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫(xiě)出軌跡L的方程即可．

解答 解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
由題意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸為4，焦距為2$\sqrt{5}$的雙曲線，
因此a=2，c=$\sqrt{5}$，則b²=c²-a²=1，
所以軌跡L的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實(shí)際問(wèn)題，是一道中檔題．