Question

18．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{4}{{2{a^x}+a}}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）（2^x+1）|=m有1個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（-x）=-f（x），求出a的值即可；
（2）將f（x）變形，解關(guān)于y的不等式，求出f（x）的值域即可；
（3）結(jié)合圖象求出m的范圍即可；
（4）令2^x=u，x∈（0，1]⇒u∈（1，2]，得到u∈（1，2]時(shí)，u²-（t+1）u+t-2≤0恒成立，求出t的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=1-$\frac{4}{{2{a^x}+a}}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），解得：a=2  （2分）
（2）$y=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}⇒{2^x}=\frac{1+y}{1-y}＞0$，
∴y∈（-1，1）（5分）
（3）設(shè)h（x）=|2^x-1|，g（x）=m，
作圖，如圖示：

如圖當(dāng)m≥1時(shí)，h（x）=|2^x-1|與g（x）=m有一個(gè)交點(diǎn)，
所以|f（x）（2^x+1）|=m有一個(gè)實(shí)根，
所以m∈[1，+∞）∪{0}（8分）
（4）$t•f（x）≥{2^x}-2⇒\frac{{t•{2^x}-t}}{{{2^x}+1}}={2^x}-2$（2^x）²-（t+1）•2^x+t-2≤0，
令2^x=u，x∈（0，1]⇒u∈（1，2]，
u∈（1，2]時(shí)，u²-（t+1）u+t-2≤0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}f（1）={1^2}-（t+1）×1+t-2≤0\\ f（2）={2^2}-（t+1）×2+t-2≤0\end{array}\right.⇒t≥0$（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查求函數(shù)的值域以及函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．