Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){

bn

an

}是首項為1公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項和公差，由此能求出a_n=2n+1．
（Ⅱ）

bn

an

=2n-1，bn=an•2n-1=(2n+1)•2n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，
且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
∴

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 5×4 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，…（2分）
解得

a1=3 d=2

…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
∴a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）∵{

bn

an

}是首項為1公比為2 的等比數(shù)列，
∴

bn

an

=2n-1，bn=an•2n-1=(2n+1)•2n-1…（7分）
∴Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)•2n-1①2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n②…（9分）
兩式相減得：
Tn=-3-2×

2(1-2n-1)

1-2

+(2n+1)•2n
=1+（2n-1）•2ⁿ…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．