Question

設(shè)函數(shù)，其中。

（I）解不等式；

（II）證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式f（x）≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常數(shù)a>0.

所以，原不等式等價于

即                                  

所以，當(dāng)0＜a＜1時，所給不等式的解集為｛x｜0≤x≤｝；

當(dāng)a≥1時，所給不等式的解集為｛x｜x≥0｝.              

（Ⅱ）在區(qū)間［0，＋∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂.

f（x₁）－f（x₂）=－a（x₁－x₂）

　　　　　　�。�（x₁－x₂）

                     ＝（x₁－x₂）      

（）當(dāng)a≥1時，

∵     ＜1，

∴     －a＜0，

又      x₁－x₂<0，

∴          f（x₁）－f（x₂）>0，

即          f（x₁）>f（x₂）.

所以，當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).      

（）當(dāng)0＜a＜1時，在區(qū)間［0，＋∞］上存在兩點x₁=0，x₂=，滿足f（x₁）=1，f（x₂）=1，

即f（x₁）=f（x₂），所以函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上不是單調(diào)函數(shù).

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上是單調(diào)函數(shù).