Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，其上下頂點(diǎn)分別為C₁，C₂，點(diǎn)A（1，0），B（3，2），AC₁⊥AC₂．
（1）求橢圓E的方程及離心率；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3），過點(diǎn)A任意作直線l與橢圓E相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數(shù)列，探究m，n之間是否滿足某種數(shù)量關(guān)系，若是，請(qǐng)給出m，n的關(guān)系式，并證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AC₁⊥AC₂，可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{A{C}_{2}}$=1-b²=0，又2c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，即可得出．
（2）m，n之間滿足數(shù)量關(guān)系m=n+1．下面給出證明：①當(dāng)取M$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\sqrt{3}，0）$時(shí)，根據(jù)斜率計(jì)算公式、及其直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數(shù)列即可證明．
②當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：ty+1=x．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（t²+3）y²+2ty-2=0，根據(jù)斜率計(jì)算公式、及其直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數(shù)列、根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可證明．

解答 解：（1）∵AC₁⊥AC₂，C₁（0，b），C₂（0，-b），A（1，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{A{C}_{2}}$=1-b²=0，∴b²=1．
∵2c=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=3．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）m，n之間滿足數(shù)量關(guān)系m=n+1．下面給出證明：
①當(dāng)取M$（\sqrt{3}，0）$，N$（-\sqrt{3}，0）$時(shí)，k_MB=$\frac{2}{3-\sqrt{3}}$，k_BP=$\frac{2-n}{3-m}$，k_NB=$\frac{2}{3+\sqrt{3}}$，
∵直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數(shù)列，∴2×$\frac{2-n}{3-m}$=$\frac{2}{3-\sqrt{3}}$+$\frac{2}{3+\sqrt{3}}$，化為：m=n+1．
②當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：ty+1=x．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（t²+3）y²+2ty-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{t}^{2}+3}$．
k_MB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$，k_BP=$\frac{2-n}{3-m}$，k_NB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$，
∵直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{2-n}{3-m}$=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$，
由于$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（t{y}_{2}-2）+（{y}_{2}-2）（t{y}_{1}-2）}{（t{y}_{1}-2）（t{y}_{2}-2）}$=$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}-（2t+2）（{y}_{1}+{y}_{2}）+8}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-2t（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=2，
∴$\frac{2-n}{3-m}$=1，化為：m=n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．