Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.

（2））討論在上的單調(diào)性；

（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3），見解析

【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；

（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；

（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.

（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，

由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，所以，

∵，

故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，

所以；

（2）∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即或時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)且時(shí)，

由 得.

令得；令得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；

當(dāng)或時(shí)，在上遞減；

當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.

（3）令，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故在處取得最小值為

又當(dāng)，由圖象知：

不妨設(shè)，則有，

令

在上單調(diào)遞增，故

即，