【題目】如圖,已知雙曲線C1 ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C1 , C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)”

(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí),要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓x2+y2= 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

【答案】
(1)解:C1的左焦點(diǎn)為( ),寫出的直線方程可以是以下形式:

,其中


(2)證明:因?yàn)橹本y=kx與C2有公共點(diǎn),

所以方程組 有實(shí)數(shù)解,因此|kx|=|x|+1,得

若原點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,則存在過(guò)原點(diǎn)的直線與C1、C2都有公共點(diǎn).

考慮過(guò)原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx(|k|>1).

顯然直線x=0與C1無(wú)公共點(diǎn).

如果直線為y=kx(|k|>1),則由方程組 ,得 ,矛盾.

所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無(wú)公共點(diǎn).

因此原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”.


(3)證明:記圓O: ,取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q,設(shè)有經(jīng)過(guò)Q的直線l與C1,C2都有公共點(diǎn),顯然l不與x軸垂直,

故可設(shè)l:y=kx+b.

若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間,

從而過(guò)Q且以k為斜率的直線l與C2無(wú)公共點(diǎn),矛盾,所以|k|>1.

因?yàn)閘與C1由公共點(diǎn),所以方程組 有實(shí)數(shù)解,

得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.

因?yàn)閨k|>1,所以1﹣2k2≠0,

因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,

即b2≥2k2﹣1.

因?yàn)閳AO的圓心(0,0)到直線l的距離 ,

所以 ,從而 ,得k2<1,與|k|>1矛盾.

因此,圓 內(nèi)的點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”.


【解析】(1)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點(diǎn)為( ),當(dāng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)滿足左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,當(dāng)斜率存在時(shí),要保證斜率的絕對(duì)值大于等于該焦點(diǎn)與(0,1)連線的斜率;(2)由直線y=kx與C2有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|>1,分過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說(shuō)明過(guò)遠(yuǎn)點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C1和C2有公共點(diǎn);(3)由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間,進(jìn)而說(shuō)明當(dāng)|k|≤1時(shí)過(guò)圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2無(wú)公共點(diǎn),當(dāng)|k|>1時(shí),過(guò)圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2有公共點(diǎn),再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍,結(jié)果與|k|>1矛盾.從而證明了結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識(shí),掌握點(diǎn)到直線的距離為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:當(dāng)銷售利潤(rùn)不超過(guò)10萬(wàn)元時(shí),按銷售利潤(rùn)的16%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì);當(dāng)銷售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí),若超出A萬(wàn)元,則超出部分按2log5A+1)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).記獎(jiǎng)金y(單位:萬(wàn)元),銷售利潤(rùn)x(單位:萬(wàn)元)

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1)求a1a2的值;

2)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)anbn;

3)設(shè)cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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A. 甲正確乙錯(cuò)誤 B. 甲錯(cuò)誤乙正確

C. 甲錯(cuò)誤乙也錯(cuò)誤 D. 甲正確乙也正確

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1)如果從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢查的3個(gè)人的編號(hào);

(下面摘取了第7行到第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>

成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí);橫向,縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī),例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?/span>20+18+4=42

人數(shù)

數(shù)學(xué)

優(yōu)秀

良好

及格


地理

優(yōu)秀

7

20

5

良好

9

18

6

及格

a

4

b

若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%,求a,b的值:

在地理成績(jī)及格的學(xué)生中,已知求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

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【題目】已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是奇函數(shù)”.
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(2)求函數(shù)h(x)= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)說(shuō)明理由,并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).

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(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.

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