【題目】已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標;
(2)求函數(shù)h(x)= 圖象對稱中心的坐標;
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).
【答案】
(1)解:平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,
由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù),由題設真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標是(1,﹣2).
(2)解:設h(x)= 的對稱中心為P(a,b),
由題設知函數(shù)h(x+a)﹣b是奇函數(shù).
設f(x)=h(x+a)﹣b,則f(x)= ﹣b,
即f(x)= .
由不等式 的解集關于原點對稱,則﹣a+(4﹣a)=0,得a=2.
此時f(x)= ﹣b,x∈(﹣2,2).
任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,
所以函數(shù)h(x)= 圖象對稱中心的坐標是(2,1).
(3)解:此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱圖象,
但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù).
修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
【解析】(1)先寫出平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù),利用題設真命題知,函數(shù)g(x)圖象對稱中心.(2)設h(x)= 的對稱中心為P(a,b),由題設知函數(shù)h(x+a)﹣b是奇函數(shù),從而求出a,b的值,即可得出圖象對稱中心的坐標.(3)此命題是假命題.舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱圖象,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù).修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識,掌握兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系,以及對函數(shù)單調性的判斷方法的理解,了解單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時候相差不超過2秒的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1 , x2 , …,x19的公差,隨機變量ξ等可能地取值x1 , x2 , …,x19 , 則方差Dξ= .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線C1: ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內一點,若存在過點P的直線與C1 , C2都有公共點,則稱P為“C1﹣C2型點”
(1)在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線y=kx與C2有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C1﹣C2型點”;
(3)求證:圓x2+y2= 內的點都不是“C1﹣C2型點”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點,求該健身房的最大占地面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一個口袋有個白球,個黑球,這些球除顏色外全部相同,現(xiàn)將口袋中的球隨機逐個取出,并依次放入編號為,,,的抽屜內.
(1)求編號為的抽屜內放黑球的概率;
(2)口袋中的球放入抽屜后,隨機取出兩個抽屜中的球,求取出的兩個球是一黑一白的概率.
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【題目】下列命題中錯誤的是( )
A. 若兩個平面平行,則分別位于這兩個平面的直線也互相平行
B. 平行于同一個平面的兩個平面平行;
C. 平面內一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行
D. 若兩個平面平行,則其中一個平面內的直線平行于另一個平面
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【題目】已知橢圓:的離心率為,點,分別為橢圓的左右頂點,點在上,且面積的最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設為的左焦點,點在直線上,過作的垂線交橢圓于,兩點.證明:直線平分線段.
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