Question

已知雙曲線C的焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），一條漸近線方程為y=

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x，過F₁的直線l交雙曲線于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）若A，B分別在左右兩支，求直線l斜率的取值范圍；
（3）若直線l斜率為1，求△ABF₂的周長．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線方程，利用雙曲線C的焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），一條漸近線方程為y=

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x，求出幾何量，即可得到雙曲線方程；
（2）設直線方程，代入雙曲線方程，利用韋達定理及根的判別式，即可求直線l斜率的取值范圍；
（3）直線l交左支于A，B兩點，利用雙曲線的定義，即可求△ABF₂的周長．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則

b a = 3 3 a2+b2=4

∴a²=3，b²=1
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1；
（2）設直線方程為y=k（x+2），代入雙曲線方程，可得（3k²-1）x²+12k²x+12k²+3=0
∵A，B分別在左右兩支，
∴

△=12(k2+1)＞0 x1x2= 3(4k2+1) 3k2-1 ＜0

，∴k2＜

1

3

，∴-

3

3

＜k＜

3

3

（3）由題意，直線l交左支于A，B兩點，則|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=4

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∴|AB|+|AF2|+|BF2|=2|AB|+4

3

=8

3

，即△ABF₂的周長8

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點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．