已知雙曲線C的焦點分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),一條漸近線方程為y=
3
3
x
,過F1的直線l交雙曲線于A,B兩點.
(1)寫出C的方程;
(2)若A,B分別在左右兩支,求直線l斜率的取值范圍;
(3)若直線l斜率為1,求△ABF2的周長.
分析:(1)設雙曲線方程,利用雙曲線C的焦點分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),一條漸近線方程為y=
3
3
x
,求出幾何量,即可得到雙曲線方程;
(2)設直線方程,代入雙曲線方程,利用韋達定理及根的判別式,即可求直線l斜率的取值范圍;
(3)直線l交左支于A,B兩點,利用雙曲線的定義,即可求△ABF2的周長.
解答:解:(1)設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),則
b
a
=
3
3
a2+b2=4

∴a2=3,b2=1
∴雙曲線方程為
x2
3
-y2=1
;
(2)設直線方程為y=k(x+2),代入雙曲線方程,可得(3k2-1)x2+12k2x+12k2+3=0
∵A,B分別在左右兩支,
△=12(k2+1)>0
x1x2=
3(4k2+1)
3k2-1
<0
,∴k2
1
3
,∴-
3
3
<k<
3
3

(3)由題意,直線l交左支于A,B兩點,則|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=4
3

|AB|+|AF2|+|BF2|=2|AB|+4
3
=8
3
,即△ABF2的周長8
3
點評:本題考查雙曲線的標準方程,考查直線與雙曲線的位置關系,考查雙曲線的定義,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點,R是弦PQ的中點.

   (1)求雙曲線C的方程;

   (2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點,且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。

   (3)若在雙曲線右準線L的左側能作出直線m:x=a,使點R在直線m上的射影S滿足,當點P在曲線C上運動時,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分。

已知雙曲線C的中心是原點,右焦點為F,一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若過原點的直線,且al的距離為,求K的值;

(3)證明:當時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是______.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年安徽省高考數(shù)學模擬試卷(解析版) 題型:填空題

(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為,分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是   

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