Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=14，a₇=20．設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=2-2S_n
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=

an

bn

，T_n為數(shù)列的前項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用b_n=2-2S_n，由n=1求出首項(xiàng)，由b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，推導(dǎo)出{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知cn=

an

bn

=

(3n-1)•3n

2

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=14，a₇=20，設(shè)公差為d，
∴

a1+4d=14 a1+6d=20

，解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=2-2S_n，
令n=1，則b₁=2-2S₁=2-2b₁，∴b₁=

2

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，由b_n=2-2S_n，
得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知cn=

an

bn

=

(3n-1)•3n

2

，
∴Tn=

1

2

[2•3+5•3²+8•3³+…+（3n-1）•3ⁿ]，①
3T_n=

1

2

[2•3²+5•3³+8•3⁴+…+（3n-1）•3ⁿ⁺¹]，②
①-②，得：
-2T_n=

1

2

[6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-（3n-1）•3ⁿ⁺¹]
=

1

2

[6=

33(3n-1-1)

3-1

-（3n-1）•3ⁿ⁺¹]
=

-(6n-5)•3n+1-15

4

，
∴T_n=

(6n-5)•3n+1+15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．