Question

【題目】已知首項(xiàng)為的數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.

(1)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，前n項(xiàng)和為，當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，對(duì)任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)由條件可變形為，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得，則，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；

(2)根據(jù)(1)求出，，，由數(shù)列是等差數(shù)列，列方程可得或，分和討論，通過條件對(duì)任意的，均存在，使得成立，可得.

(1)∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，

，即，即.

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

∵，∴，

∴，

，

兩式相減，得，

，

∴數(shù)列的前n項(xiàng)和；

(2)∵數(shù)列的通項(xiàng)，

∴由(1)得，，∴，，.

又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，∴.

，即.

解得或.

又，

∴當(dāng)時(shí)，，為等差數(shù)列，

對(duì)任意的，均存在，使得成立，

，

，.

又為正整數(shù)，∴滿足條件的所有整數(shù)的值構(gòu)成的集合為

.

當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)，

∴數(shù)列不是等差數(shù)列，舍去.

綜上，滿足條件的所有整數(shù)的值構(gòu)成的集合為

.