Question

20．偶函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），且在x∈[0，1]時，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個交點，則k的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用直線和圓相切的條件求出直線斜率，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：由kx-y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0）
則直線過定點A（-1，0），
當x∈[0，2）時，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，即（x-1）²+y²=1，（y≥0），
對應的根據(jù)為圓心在（1，0）的上半圓，
∵f（x）滿足f（x+2）=f（x），
∴當x∈[2，4）時，（x-3）²+y²=1，（y≥0），此時圓心為（3，0），
當直線和圓（x-1）²+y²=1，（y≥0）相切時此時有2個交點
此時圓心（1，0）到直線的距離d=$\frac{|k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍）．
當線和圓（x-3）²+y²=1，（y≥0）相切時此時有4個交點，
此時圓心（3，0）到直線的距離d=$\frac{|3k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$或k=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍）．
若若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個不同交點，
則直線在AB和AC之間，
則$\frac{\sqrt{15}}{15}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程之間的應用，利用數(shù)形結合以及直線和圓心相切的等價條件是解決本題的關鍵，屬于中檔題．