Question

5．曲線C：f（x）=x³-2x²-x+1，點P（1，0），求過點P的切線l與C圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 由于切線過點P，故先設切點求切線方程，再與曲線C聯(lián)立，可求交點坐標，從而利用定積分求曲線圍成的圖形面積．

解答 解：f'（x）=3x²-4x-1
設切點P₀（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=x_0^3-2x_0^2-{x_0}+1①\\ 3x_0^2-4{x_0}-1=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}②\end{array}\right.$…（2分）
由②得${y_0}=3x_0^3-7x_0^2+3{x_0}+1$
代入①得$2x_0^3-5x_0^2+4{x_0}=0$，∴${x_0}（2x_0^2-5{x_0}+4）=0$，
∴x₀=0，∴y₀=1，∴切線為y=-x+1…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x^3}-2{x^2}-x+1\end{array}\right.$得x=0或x=2…（10分）
∴$S=|\int_0^2{（{x^3}-2{x^2}）dx}|=\frac{4}{3}$…（12分）

點評 本題以曲線為載體，考查曲線的切線方程，考查利用定積分求曲線圍成的圖形面積，解題的關鍵是區(qū)分在點處與過點的切線方程的求解．